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<!DOCTYPE html>

<title>Differenzengleichung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Differenzengleichung</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>In der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> wird durch eine <b>Differenzengleichung</b> (auch als <b>Rekursionsgleichung</b> bezeichnet) eine Folge <a href="Rekursiv" class="mw-redirect" title="Rekursiv">rekursiv</a> definiert. Das heißt, dass jedes Folgenglied eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder ist:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{n}=f(n,x_{n-1},x_{n-2},\dotsc ,x_{n-k})\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e97ae315ce9a4dee8ed430ea68d8c7ee5c1cb71e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.743ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{n}=f(n,x_{n-1},x_{n-2},\dotsc ,x_{n-k})\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>für natürliche Zahlen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>. Die bekanntesten Beispiele sind die <a href="Fakult%C3%A4tsfunktion" class="mw-redirect" title="Fakultätsfunktion">Fakultätsfunktion</a> und die <a href="Fibonacci-Folge" title="Fibonacci-Folge">Fibonacci-Folge</a>. Eine Spezialform sind die <a href="Lineare_Differenzengleichung" title="Lineare Differenzengleichung">linearen Differenzengleichungen</a>.

Anwendungen finden sich auch in <a href="Differenzengleichung_(Differenzenverfahren)" title="Differenzengleichung (Differenzenverfahren)">Differenzengleichung (Differenzenverfahren)</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Differenzengleichungen_in_der_Ökonomie"><span id="Differenzengleichungen_in_der_.C3.96konomie"></span>Differenzengleichungen in der Ökonomie</h2></div>

<p>In der ökonomischen Theorie kommen Differenzengleichungen vor allem zum Einsatz, um die Entwicklung ökonomischer Größen über die Zeit zu analysieren. Vor allem in der <a href="Wachstumstheorie" title="Wachstumstheorie">Wachstumstheorie</a> und <a href="Konjunkturtheorie" title="Konjunkturtheorie">Konjunkturtheorie</a> werden zeitliche Abläufe vielmals in Form von Differenzengleichungen abgebildet.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Man geht dabei davon aus, dass z. B. das <a href="Bruttoinlandsprodukt" title="Bruttoinlandsprodukt">Bruttoinlandsprodukt</a> sich auf einem bestimmten Pfad hin zu einem langfristigen Gleichgewicht entwickelt, in dem alle Kapazitäten ausgelastet sind. Je nach Lösung der Differenzengleichung ergibt sich der Entwicklungspfad als asymptotischer Verlauf oder als schwingender Verlauf (in etwa Kosinus-Kurven). Es bleibt aber nicht aus, dass zur <a href="Mathematisches_Modell" title="Mathematisches Modell">mathematischen Modellierung</a> (z. B. beim Bruttoinlandsprodukt) einige vereinfachende Annahmen gemacht werden müssen (z. B. über die Lagerbildung, Konsum als Anteil des BIP oder Investitionssteigerung durch Gewinnerwartung).

</p>

<ul><li>Anwendung von Differenzengleichung 1. Ordnung</li></ul>

<p>Ein weiteres klassisches Beispiel ist das <a href="Spinnwebtheorem" title="Spinnwebtheorem">Spinnwebtheorem</a> (auch <i>cobweb theorem</i>). Die Entwicklung der Preise und Mengen folgt rekursiven Funktionen oder, mathematisch ausgedrückt, allgemeinen Differenzengleichungen erster Ordnung.<sup id="cite_ref-Woll_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Woll-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<ul><li>Anwendung von Differenzengleichung 2. Ordnung</li></ul>

<p>Das <a href="Multiplikator-Akzelerator-Modell" title="Multiplikator-Akzelerator-Modell">Multiplikator-Akzelerator-Modell</a> will erklären, warum das wirtschaftliche Wachstum nicht monoton verläuft, sondern typischerweise einem Konjunkturzyklus folgt. Das Modell lässt sich aus dem Wachstumsmodell von <a href="Harrod-Domar-Modell" title="Harrod-Domar-Modell">Harrod und Domar</a> heraus entwickeln, eine besondere Variante stammt von <a href="Paul_A._Samuelson" title="Paul A. Samuelson">Paul A. Samuelson</a> (1939) und <a href="John_Richard_Hicks" class="mw-redirect" title="John Richard Hicks">John Richard Hicks</a> (1950).<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Rekursion" title="Rekursion">Rekursion</a></li>

<li><a href="Differenzenrechnung" title="Differenzenrechnung">Differenzenrechnung</a></li>

<li><a href="Erzeugende_Funktion" title="Erzeugende Funktion">Erzeugende Funktion</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>L. Berg: <i>Differenzengleichungen zweiter Ordnung mit Anwendungen.</i> Steinkopff, Darmstadt 1980, ISBN 3-7985-0546-2.</li>

<li>L. Berg: <i>Lineare Gleichungssysteme mit Bandstruktur.</i> Hanser, München / Wien 1986, ISBN 3-446-14254-1.</li>

<li>U. Krause, T. Nesemann: <i>Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme.</i> Teubner, Stuttgart / Leipzig 1999, ISBN 3-519-02639-2.</li>

<li>Franz Pfuff: <i>Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler kompakt.</i> 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0711-3, Kapitel 1, Abschnitt <i>§ 7 Differenzengleichungen und Finanzmathematik</i></li>

<li>R. Dürr, J. Ziegenbalg: <i>Mathematik für Computeranwendungen.</i> Schöningh, Paderborn 1989, ISBN 3-506-37562-8.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/differenzengleichung-29872">Differenzengleichung</a> – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon</span>

</li>

<li id="cite_note-Woll-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Woll_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Arthur Woll: <i>Allgemeine Volkswirtschaftslehre.</i> 12. Auflage. Vahlen, 1996, ISBN 3-8006-2973-9, S. 111 zur mathematischen Herleitung</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/multiplikator-akzelerator-modelle-38539">Multiplikator-Akzelerator-Modelle</a> – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon</span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Lineare_Rekurrenzen,_Potenzreihen_und_ihre_erzeugenden_Funktionen" class="extiw external" title="b:Lineare Rekurrenzen, Potenzreihen und ihre erzeugenden Funktionen">Wikibooks: Lineare Rekurrenzen, Potenzreihen und ihre erzeugenden Funktionen</a></b> – Lern- und Lehrmaterialien</div></div><div><div class="zim-footer">

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